Articolo interessante trovato da un tesista riguardante l'analisi finanziaria con metodi stocastici *

Tre articoli fondamentali, apparsi a nove anni di distanza l'uno dall'altro cambiarono in maniera radicale l'analisi finanziaria:

• Shape nel 1964, e in seguito Lintner nel 1965, proposero il Modello di Equilibrio per Attivit a Finanziarie, il Capital Asset Pricing Model, meglio noto con l'acronimo di CAPM, che introdusse la nozione di rischio sistematico di un titolo, misurato da un certo coe ciente di regressione;  
• Black e Scholes nel 1973 mostrarono che il prezzo teorico di un'opzione di acquisto su un'azione e la soluzione di una certa equazione alle derivate parziali.

In seguito a questi tre articoli, e nata la necessità di utilizzare tecniche matematiche spesso molto diverse e sofisticate: Ottimizzazione, Programmazione Dinamica, Calcolo differenziale Stocastico, Equazioni alle derivate Parziali e Controllo Ottimo. Da un punto di vista economico e finanziario, si possono distinguere tre grandi temi nello sviluppo dei lavori di ricerca degli ultimi 25 anni: l'ottimizzazione del portafoglio e dei consumi, la determinazione del prezzo di un'attività a finanziaria e l'arbitraggio. 

L'approccio oggi più largamente impiegato per la definizione dei modelli per la determinazione dei prezzi delle attività finanziarie trae gran parte delle sue fondamenta dal lavoro di Black e Scholes, i quali hanno avuto il merito di determinare una formula esplicita per i prezzi delle opzioni di tipo europeo che non dipende dalle ipotesi sulle preferenze degli operatori e che e funzione di variabili osservabili e della loro dinamica. Il mercato descritto da questi modelli e regolato dall'ipotesi di assenza di opportunità di arbitraggio non rischioso; gli agenti hanno aspettative conformi sullo stato futuro, e la variabile che guida il mercato e, frequentemente, il tasso di interesse istantaneo. In generale, in tali modelli, si ipotizza che la dinamica dei processi, sia di prezzo che di rendimento, possa essere descritta tramite una Equazione Di fferenziale Stocastica del tipo: 

dXt = (Xt)dt + (Xt)dWt 

dove {Wt; t > 0} è un moto browinano, e sono funzioni continue rispetto a t e prendono il nome di deriva e di coefficiente di diffusione. 
L'impiego delle Equazioni  Differenziali Stocastiche equivale alla teoria della passeggiata aleatoria per i prezzi dei titoli finanziari, teoria che a erma la non prevedibilità dei rendimenti a causa dell'efficienza informativa dei mercati.


Problema finanziario trattato matematicamente:
Se si ipotizza che il tasso di interesse istantaneo segua una Equazione Differenziale Stocastica (EDS), utilizzando l'ipotesi di assenza di opportuni à di arbitraggio e i risultati del calcolo differenziale stocastico (infatti per tali equazioni non sono applicabili le regole del calcolo differenziale tradizionale), si ricava il prezzo di attività finanziaria derivata, cioé di un titolo il cui valore dipende dai valori di variabili sottostanti pi u elementari. Tale prezzo e determinato dalla cos detta Equazione di Valutazione del prezzo di equilibrio ed e la soluzione di una certa equazione alle derivate parziali, dipendente dal titolo che ne e il presupposto, dal tasso di interesse e dai parametri che caratterizzano l'Equazione Differenziale Stocastica che descrive la dinamica del tasso di interesse stesso. A seguito dell'assunzione dell'ipotesi di assenza di opportuni à di arbitraggio per la caratterizzazione della struttura dei prezzi di equilibrio resta de finito il premio di rischio, cioé un compenso richiesto per accettare il rischio indotto dalle fluttuazioni della variabile che guida il mercato. In tale impostazione rientrano in particolare, oltre al modello di Black e Scholes, i modelli di Vasicek (1977) e di Cox, Ingersoll e Ross (1985)

I modelli markoviani per la valutazione dei titoli derivati:
Un'attività finanziaria derivata o pi u semplicemente un derivato (come i futures, options, swaps ed altre) e un titolo il cui valore dipende da quelli di altre variabili pi u elementari. Nella maggior parte dei casi le variabili sottostanti i derivati sono i prezzi delle altre attività finanziarie scambiate. Ad esempio un'opzione di acquisto di tipo europeo (call option) e un contratto in base al quale un operatore acquista il diritto di comprare ad una certa data (data di esercizio), ad un passato prezzo (prezzo d'esercizio), un certo titolo (titolo di riferimento) in possesso di un altro operatore. Tale diritto ha ovviamente un costo, il prezzo dell'opzione appunto, che sarà lecito supporre in qualche relazione con la maturità dell'opzione stessa, cioé il periodo di tempo che intercorre dalla data del contratto alla data di esercizio, e dal prezzo del titolo di riferimento. Se alla data di esercizio il prezzo del titolo di riferimento indicato sul mercato e minore del prezzo d'esercizio, l'opzione di acquisto non viene esercitata e l'operatore perder a il prezzo pagato per l'opzione. Dato quindi il prezzo di esercizio, la data di esercizio e i rendimenti associati al titolo di riferimento un rilevante problema pratico e la valutazione delle attività derivate, cioé la determinazione del loro prezzo. L'approccio oggi pi u largamente impiegato ha le sue fondamenta dal lavoro di Black e Scholes (1973) i quali hanno avuto il merito di determinare una formula esplicita per i prezzi delle opzioni di tipo europeo, che non dipende dalle ipotesi sulle preferenze degli operatori e che e funzione di variabili osservabili e della loro dinamica. Tale approccio si fonda sulle implicazioni dell'ipotesi di assenza di opportunità di arbitraggio non rischioso nel mercato considerato. 

Modello di Black e Scholes in Visual Basic: