Moto Browniano geometrico

Che cosa è il moto browniano?
Cenni storici.
È il moto incessante e disordinato di piccolissime particelle sospese in acqua o gas. Lo scoprì il botanico scozzese Robert Brown, che nel 1827 osservò col microscopio particelle di polline.
Sebbene l'osservazione di questo fenomeno da parte di Jan Ingenhousz sia avvenuta nel 1785, esso venne riscoperto nel 1828 da Robert Brown, per poi avere una trattazione matematica rigorosa solo agli inizi
del Novecento con Louis Bachelier (1900 - Théorie de la spéculation, tesi di laurea) e Albert Einstein (1905 - Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen, articolo - in italiano: Sulla teoria cinetico-molecolare del movimento di particelle sospese in liquidi a riposo dovuto al calore).

Louis Jean Baptist Bachelier, che è universalmente considerato il padre della matematica finanziaria propose, come Einstein, un approccio statistico al processo. In particolare, il processo stocastico utilizzato è un processo di Wiener (o di Bachelier-Wiener, come proposto da William Feller), che rientra nella categoria più ampia dei processi di Markov.
È parso ragionevole applicare l'ipotesi di efficienza debole dei mercati (e cioè che il prezzo di un'attività racchiuda in sé tutta la storia passata) per modellizzare attraverso un processo di Wiener il percorso del prezzo delle azioni in un mercato finanziario. Successivamente al lavoro di Bachelier del 1900, tuttavia, questo approccio è stato per lungo tempo abbandonato, per essere ripreso soltanto a partire dagli anni sessanta, ed è definitivamente entrato a far parte degli strumenti della teoria della finanza con il noto lavoro di Black e Scholes del 1973. Il modello di moto browniano dei prezzi dei titoli finanziari è un elemento essenziale del pricing dei prodotti finanziari derivati, e in generale di altre attività finanziarie.
In finanza si utilizzano per lo più il calcolo stocastico basato sul lemma di Itō e il calcolo di Malliavin. Applicazioni numeriche nel pricing dei prodotti finanziarie spesso ricorrono a metodi di simulazione Monte Carlo.

Che cosa è il moto browniano geometrico?
Il moto browniano geometrico (a volte detto moto browniano esponenziale) è un processo stocastico in tempo continuo in cui il logaritmo della quantità variabile nel tempo segue un moto browniano, o, forse più precisamente, un processo di Wiener. Il processo è ritenuto appropriato per modellizzare alcuni fenomeni dei mercati finanziari. In particolare, è usato nell'ambito dell'option pricing, in quanto una quantità che segue un moto browniano geometrico può assumere soltanto valori maggiori di zero, il che riflette la natura del prezzo di un'attività finanziaria.

Che cosa è il processo di Weiner?

È uno dei processi di Lévy meglio conosciuti.
Un processo di Wiener, conosciuto anche come moto browniano, è un processo stocastico gaussiano in tempo continuo con incrementi indipendenti, usato per modellizzare il moto browniano stesso e diversi fenomeni casuali osservati nell'ambito della matematica applicata, della finanza.

I prezzi delle azioni sono spesso modellate come la somma di :
• il drift deterministico o il tasso
• un numero casuale con media 0 e varianza proporzionale alla dt
Questo è noto come moto browniano geometrico, ed è comunemente un
modello per definire i percorsi di prezzo delle azioni. Esso è definito dalla

seguente equazione differenziale stocastica:

St è il prezzo delle azioni al tempo t, dt è il differenziale del tempo, μ è la deriva, σ è la volatilità, Wt è un processo Weiner ed ε è una distribuzione normale con una media di zero e la deviazione standard di uno.
L’equazione finale sarà:

Quindi dSt è la somma di una tendenza generale e un termine che rappresenta l’incertezza.
Date queste premesse segue il codice in Visual Basic: